Roland 5000s Uživatelský manuál Strana 1

Numerische Simulation von F¨allungsprozessenmittels PopulationsbilanzenMichael RolandFebruar 2010

72 Kapitel III FEM Simulation von F¨allungsprozesseZusammenfassend kann man sagen, dass die ausf¨uhrlichen Untersuchungen in[JS08, JS09] zu dem Schlus

§3 Diskretisierung des gekoppelten Systems 73se invers–monotoner Matrizen [RST08]. Diese definiert man als die invers–monotonenMatrizen, die zus¨atzlic

74 Kapitel III FEM Simulation von F¨allungsprozesseOperator auf der linken Seite zuviel numerische Diffusion produziert.Im n¨achsten Schritt des FEM–FC

§3 Diskretisierung des gekoppelten Systems 75tor abh¨angen, erh¨alt man nichtlineare FEM–FCT–Verfahren, die in [KMT04, KM05]beschrieben sind. F¨ur den

76 Kapitel III FEM Simulation von F¨allungsprozesse2. Berechne den Abstand zu einem lokalen Extremum der Hilfsl¨osungQ+i= max0, maxj=1,...,N,j6=i(˜uj

§3 Diskretisierung des gekoppelten Systems 77sich bei der simultanen L¨osung meist Eigenschaften der Teilprobleme, wie beispielswei-se d¨unnbesetzte M

78 Kapitel III FEM Simulation von F¨allungsprozessenare Str¨omungen betrachtet werden, ist f¨ur diese weder eine Stabilisierung der r¨aumli-chen Diskr

§3 Diskretisierung des gekoppelten Systems 79wird. Bei den Gleichungen (III.26) und (III.27) bedeutet dies, dass die rechte Seiteunver¨andert bleibt.N

80 Kapitel III FEM Simulation von F¨allungsprozessegleichungen entwickelt wurden, k¨onnen sie gut auf Gleichungen vom Typ (III.9) ange-wandt werden. N

§3 Diskretisierung des gekoppelten Systems 81≈Ghk(x)fhk−1(x, dp,i) − fhk−1(x, dp,i−1)dp,i− dp,i−1falls Ghk(x) ≥ 0,Ghk(x)fhk−1(x, dp,i+1) − fh

KurzbeschreibungF¨allungsprozesse werden mit Hilfe von Populationsbilanzsystemen modelliert. Diesf¨uhrt zu einem gekoppelten System von partiellen Diff

82 Kapitel III FEM Simulation von F¨allungsprozesseterm im physikalischen Raum. Da das Geschwindigkeitsfeld mit dem Q2Finite–Elementapproximiert wird

Kapitel IVNumerische Ergebnisse der Simulationeiner F¨allungsreaktion§1 Die modellierte F¨allungsreaktionZu Beginn des Kapitels¨uber die numerischen E

84 Kapitel IV Numerische Ergebnissetionsinformationen Rechnung getragen werden [WK04, BBB+06]. Bevor im Folgendengenauer auf die Modellparameter einge

§1 Die modellierte F¨allungsreaktion 85Der zweite Reaktant ist Calciumchlorid, ein Salz, genauer ein Chlorid des Erdal-kalimetalls Calcium, mit der Su

86 Kapitel IV Numerische Ergebnisseder Baustoffindustrie sowohl als F¨ullstoff als auch in der Zementherstellung benutzt.¨Uberdies dient Calciumcarbonat

§2 Aufbau und Konfiguration der numerischen Simulationen 87§2 Aufbau und Konfiguration der numerischen SimulationenDa der zeitliche Ablauf einer chemisc

88 Kapitel IV Numerische Ergebnisse§2.1 ModellparameterF¨ur die Simulation der Populationsbilanz, die die chemische F¨allungsreaktion model-liert, wir

§2 Aufbau und Konfiguration der numerischen Simulationen 89Außerhalb der Einstr¨omungen sind f¨ur cAund cBhomogene Neumann–Randbedin-gungen gesetzt. F¨

90 Kapitel IV Numerische Ergebnisse• ν = 10−6m2s,• % = 1kgm3,• kG= 10−7m4kmol s,• knuc= 1024 1m3s/kmolm35!,• kR= 10−2m3kmol s,• csatC,∞= 1.37 · 10

§2 Aufbau und Konfiguration der numerischen Simulationen 91• u∞= 10−2ms,• t∞= 103s f¨ur u∞= 10−3msund• t∞= 102s f¨ur u∞= 10−2ms• c∞= 1kmolm3,• cC,∞= 0.

92 Kapitel IV Numerische ErgebnisseVerh¨altnis zwischen der durch die Reaktion umgesetzten und der durch die Diffusion,mit der Geschwindigkeit uDiff, he

§2 Aufbau und Konfiguration der numerischen Simulationen 93Formeldp,i= 1 + (1 − dp,min)tanh2.75iL−1tanh (2.75), i = 0, . . . , L, (IV.1)verteilen.

94 Kapitel IV Numerische ErgebnisseDen Ausgangspunkt bildet hier das 0-te Moment,Net,ex:=Zedp,maxedp,0ef(et,ex,edp)d (dp) , (IV.2)das die Anzahldich

§2 Aufbau und Konfiguration der numerischen Simulationen 95In diesem Zusammenhang sind, wie erw¨ahnt, die Momente dritten Grades die aussage-kr¨aftigst

96 Kapitel IV Numerische Ergebnisse§3 Ergebnisse der Simulationen in einem zweidimensionalenGebiet§3.1 Vergleichsstudie f¨ur verschiedene Einstr¨omung

§3 Ergebnisse der Simulationen in einem zweidimensionalen Gebiet 97Abbildung IV.2: Str¨omungsfelder der verschiedenen Einstr¨omungspositionenbezeichne

98 Kapitel IV Numerische ErgebnisseAn den Darstellungen der verschiedenen Kurven f¨ur q3in Abbildung IV.3 und f¨ur Q3in Abbildung IV.4 kann man die Zu

§3 Ergebnisse der Simulationen in einem zweidimensionalen Gebiet 99Abbildung IV.3: Volumenanteile f¨ur die verschiedenen Einstr¨omungspositionenModalw

100 Kapitel IV Numerische ErgebnisseAbbildung IV.4: Kumulative Volumenanteile f¨ur die verschiedenen Einstr¨omungsposi-tionenVolumenanteil an den Moda

§3 Ergebnisse der Simulationen in einem zweidimensionalen Gebiet 101Abbildung IV.5: Median des Volumenanteils f¨ur die verschiedenen Einstr¨omungsposi

InhaltsverzeichnisTabellenverzeichnis xvAbbildungsverzeichnis xviiNomenklatur xxiI Einleitung 1II Numerische Simulation turbulenter inkompressibler St

102 Kapitel IV Numerische ErgebnisseAbbildung IV.6: Konzentrationsfelder des Reaktanten CaCl2f¨ur die verschiedenen Ein-str¨omungspositionenzung einst

§3 Ergebnisse der Simulationen in einem zweidimensionalen Gebiet 103Abbildung IV.7: Konzentrationsfelder des Reaktanten Na2CO3f¨ur die verschiedenenEi

104 Kapitel IV Numerische ErgebnisseAbbildung IV.8: Konzentrationsfelder des gel¨osten Produktes CaCO3f¨ur die verschie-denen Einstr¨omungspositionenm

§3 Ergebnisse der Simulationen in einem zweidimensionalen Gebiet 105vermehrt kleine Partikel aus dem Reaktor aus. Platziert man die beiden Einstr¨omun

106 Kapitel IV Numerische Ergebnisse§3.2 Ergebnisse mit dem linearen FEM–FCT–VerfahrenDa in den Simulationen mit der SUPG–Methode zur Stabilisierung d

§3 Ergebnisse der Simulationen in einem zweidimensionalen Gebiet 107Abbildung IV.9: Typische Simulationsergebnisse f¨ur u∞= 10−3mit dem FEM–FCT–Verfah

108 Kapitel IV Numerische ErgebnisseAbbildung IV.10: Typische Simulationsergebnisse f¨ur den Median des Volumenanteilsf¨ur u∞= 10−3; FEM–FCT–Verfahren

§3 Ergebnisse der Simulationen in einem zweidimensionalen Gebiet 109Abbildung IV.11: Typische Simulationsergebnisse f¨ur den Median des Volumenanteils

110 Kapitel IV Numerische Ergebnisse∆t = 0.005 ∆t = 0.0025 ∆t = 0.00125L Diskretisierung ∆et = 5s ∆et = 2.5s ∆et = 1.25sFWE–UPW–FDM 4.096e-6 6.855e-6

§3 Ergebnisse der Simulationen in einem zweidimensionalen Gebiet 111∆t = 0.005 ∆t = 0.0025 ∆t = 0.00125L Diskretisierung ∆et = 5s ∆et = 2.5s ∆et = 1.2

xiv Inhaltsverzeichnis§3.2 Algorithmus zur numerischen L¨osung . . . . . . . . . . . . . . 76IV Numerische Ergebnisse der Simulation einer F¨allungsre

112 Kapitel IV Numerische Ergebnisse∆t = 0.0025 ∆t = 0.00125 ∆t = 0.000625L Diskretisierung ∆et = 0.25s ∆et = 0.125s ∆et = 0.0625sFWE–UPW–FDM 1.328e-5

§3 Ergebnisse der Simulationen in einem zweidimensionalen Gebiet 113∆t = 0.0025 ∆t = 0.00125 ∆t = 0.000625L Diskretisierung ∆et = 0.25s ∆et = 0.125s ∆

114 Kapitel IV Numerische ErgebnisseAbbildung IV.12: Typische Simulationsergebnisse f¨ur u∞= 10−2mit dem FWE–UPW–FDM; hier mit ∆t = 0.00125, (∆et = 1.

§3 Ergebnisse der Simulationen in einem zweidimensionalen Gebiet 115Abbildung IV.13: Typische Simulationsergebnisse f¨ur u∞= 10−2mit dem FWE–UPW–FDM;

116 Kapitel IV Numerische ErgebnisseAbbildung IV.14: Typische Simulationsergebnisse f¨ur den Median des Volumenanteils inder Mitte der Ausstr¨omung f¨

§3 Ergebnisse der Simulationen in einem zweidimensionalen Gebiet 117Abbildung IV.15: Typische Simulationsergebnisse f¨ur den Median des Volumenanteils

118 Kapitel IV Numerische Ergebnisse§3.3 Ergebnisse der Partikelgr¨oßenverteilungIm Folgenden werden die Simulationsergebnisse der Partikelgr¨oßenvert

§3 Ergebnisse der Simulationen in einem zweidimensionalen Gebiet 119Abbildung IV.16: Typische Simulationsergebnisse f¨ur die Partikelgr¨oßenverteilung

120 Kapitel IV Numerische ErgebnisseReaktors, in denen genau die angegebene Verteilungsdichte vorherrscht. Durch dieGlattheit der Partikelgr¨oßenverte

§3 Ergebnisse der Simulationen in einem zweidimensionalen Gebiet 121Abbildung IV.18: Typische Simulationsergebnisse f¨ur die Partikelgr¨oßenverteilung

TabellenverzeichnisII.1 Dimensionstafel zur Herleitung der Reynolds–Zahl . . . . . . . . . . . 15II.2 Notwendige Gitterfeinheit bei der Simulation . .

122 Kapitel IV Numerische Ergebnisse§3.4 Ein gekoppeltes System einer Konvektions–Diffusionsgleichung in2D und einer Transportgleichung in 3D mit vorge

§3 Ergebnisse der Simulationen in einem zweidimensionalen Gebiet 123FWE FCT FWE FCTα 0.05 0.05N β 1 20kc − chk01.13e-2 7.18e-3 1.05e-2 6.88e-332 |c −

124 Kapitel IV Numerische ErgebnisseFWE FCT FWE FCTα 1 1N β 1 20kc − chk04.67e-2 1.67e-3 3.17e-2 1.32e-232 |c − ch|13.72e-1 2.88e-1 2.88e-1 2.59e-1kf

§3 Ergebnisse der Simulationen in einem zweidimensionalen Gebiet 125zerlegt. Da das Gebiet der Bilanzgleichung, Ω × (dp,0, 1), zus¨atzlich noch¨uber e

126 Kapitel IV Numerische Ergebnissefahrungen in den Simulationen der F¨allungsreaktion sehr gut wider. Ebenfalls wieim letzten Abschnitt §3.2.1, f¨uh

§4 Ergebnisse der Simulationen in einem dreidimensionalen Gebiet 127Abbildung IV.20: Simulationsgebiet des dreidimensionalen Reaktorsist, wird, wie be

128 Kapitel IV Numerische Ergebnissebezeichnet wird.Der Reaktor hat auf seiner rechten und auf seiner linken Seite je eine Einstr¨omungs-¨offnung der G

§4 Ergebnisse der Simulationen in einem dreidimensionalen Gebiet 129den folgendermaßen gew¨ahlt,f (t, x1, x2, x3, dp,min) =Bnuc(cC)f∞G (cC), wenn G (c

130 Kapitel IV Numerische ErgebnisseAbbildung IV.21: Typische Simulationsergebnisse f¨ur u∞= 10−3zum Zeitpunktet =40000s; skaliertes Str¨omungsfeld (o

§4 Ergebnisse der Simulationen in einem dreidimensionalen Gebiet 131Abbildung IV.22: Typische Simulationsergebnisse f¨ur u∞= 10−2zum Zeitpunktet =5000

xvi Tabellenverzeichnis

132 Kapitel IV Numerische ErgebnisseAbbildung IV.23: Typische Simulationsergebnisse f¨ur u∞= 10−2zum Zeitpunktet =5000s mit linearen FEM–FCT–Verfahren

§4 Ergebnisse der Simulationen in einem dreidimensionalen Gebiet 133Abbildung IV.24: Typische Simulationsergebnisse f¨ur u∞= 10−2zum Zeitpunktet =5000

134 Kapitel IV Numerische ErgebnisseAbbildung IV.25: Typische Simulationsergebnisse f¨ur u∞= 10−2zum Zeitpunktet = 5000s; BWE–UPW–FDM, CaCO3, mit cC=

§4 Ergebnisse der Simulationen in einem dreidimensionalen Gebiet 135Abbildung IV.26: Typische Simulationsergebnisse f¨ur u∞= 10−2zum Zeitpunktet =5000

136 Kapitel IV Numerische ErgebnisseAbbildung IV.27: Histogramm–Darstellung der Konzentration des gel¨osten ProduktesCaCO3; u∞= 10−2zum Zeitpunktet =

§4 Ergebnisse der Simulationen in einem dreidimensionalen Gebiet 137q3(et,edp) :=d3pef(et, 0.5, 0.5, 0,edp)Redp,maxedp,0d3pef(et, 0.5, 0.5, 0,edp)d (d

138 Kapitel IV Numerische ErgebnisseAbbildung IV.28: Median des Volumensanteils in der Mitte der Ausstr¨omung; u∞=10−2Abbildung IV.29: Median des Volu

§4 Ergebnisse der Simulationen in einem dreidimensionalen Gebiet 139schneller sind, als das lineare FEM–FCT–Verfahren, wobei das explizite Euler–Verfa

140 Kapitel IV Numerische Ergebnisse

Kapitel VZusammenfassung und AusblickDiese Arbeit ist ein Beitrag zur Numerik von Populationsbilanzsystemen, am Beispielvon F¨allungsreaktionen, die d

AbbildungsverzeichnisII.1 Bereiche der Energiekaskade nach [Pop00] . . . . . . . . . . . . . . . 19II.2 Gebiet f¨ur turbulente Kanalstr¨omungen mit Re

142 Kapitel V Zusammenfassung und AusblickSystems erm¨oglichen.Im letzten Teil der Arbeit wurden die verschiedenen Verfahren zur Diskretisierung derGl

143basierte FEVMS–Methode f¨ur die Navier–Stokes–Gleichungen verwendet.Die Untersuchungen der Konzentrationsfelder und des Medians des Volumenanteilsi

144 Kapitel V Zusammenfassung und Ausblick

Literaturverzeichnis[Abr74] F. Abraham. Homogeneous Nucleation Theory. Academic Press, 1974.[AdP07] P. Atkins und J. de Paula. Physikalische Chemie. W

146 Literaturverzeichnis[BIL05] L. Berselli, T. Iliescu und W. Layton. Mathematics of Large Eddy Simula-tion of Turbulent Flows. Springer-Verlag, 2005

Literaturverzeichnis 147[Dam57] G. Damk¨ohler. Einfluss von Diffusion, Str¨omung und W¨armetransport aufdie Ausbeute bei chemisch-technischen Reaktionen

148 Literaturverzeichnis[Goe58] H. Goering. Statistische Theorie der Turbulenz. Akademie-Verlag-Berlin,1958.[Goe75] H. Goertler. Dimensionsanalyse. Sp

Literaturverzeichnis 149[HFS+07] W. Heineken, D. Flockerzi, C. Steyer, A. Voigt und K. Sundmacher. “Non-linear dynamics with hydrodynamics through dir

150 Literaturverzeichnis[JK08a] V. John und S. Kaya. “Finite Element error analysis of a variational multis-cale method for the Navier–Stokes equation

Literaturverzeichnis 151[Joh04a] V. John. “Large Eddy Simulation of Turbulent Incompressible Flows. Ana-lytical and Numerical Results for a Class of L

xviii AbbildungsverzeichnisIV.1 Simulationsgebiet des zweidimensionalen Reaktors . . . . . . . . . . . 88IV.2 Str¨omungsfelder der verschiedenen Einst

152 Literaturverzeichnis[JT06] V. John und A. Tambulea. “On finite element variational multiscale me-thods for incompressible turbulent flows.” In “Proc

Literaturverzeichnis 153[Lam31] H. Lamb. Lehrbuch der Hydrodynamik. B.G. Teubner, 1931.[Leo74] A. Leonhard. “Energy cascade in large eddy simulation o

154 Literaturverzeichnis[OJ58] A. Obuchow und A. Jaglom. “Die Mikrostruktur einer turbulenten Str¨o-mung.” In“Statistische Theorie der Turbulenz,”(S.

Literaturverzeichnis 155[SP02] H. Schwarzer und W. Peukert.“Steuerung der Partikelgr¨oße bei der F¨allung– Kopplung von Populationsbilanz und Hydrodyn

156 Literaturverzeichnis[WJC02] G. Winckelmans, H. Jeanmart und D. Carati. “On the comparison of tur-bulent intensities from largy eddy simulation wit

IndexAbschließungsproblem, 26¨Ahnlichkeit, 12vollst¨andige, 13¨Ahnlichkeitstheorie, 12Akkumulation, 57, 60Algorithmus von Zalesak, 75Anfangs–Geschwind

158 IndexEigenschaftskoordinate, 54, 80Eigenschaftsraum, 59, 80eigenschaftsverteiltes System, 54Einstr¨omung, 89, 96, 98, 106, 128Einstr¨omungs¨offnung

Index 159Impuls-bilanz, 11, 42erhaltung, 6, 11, 12Inertialbereich, 18inf–sup Stabilit¨atsbedingung, 31, 42, 77inkompressibel, 6, 12, 13, 15, 25, 36,59

160 IndexNewtonsche Fluide, 11Niederschlag, 58, 59, 61, 65, 79, 95Normalspannung, 11Nukleation, 56heterogen, 63homogene, 63Nukleationskeime, 64, 105,

Index 161Reynolds–Operator, 27Reynolds–Spannungen, 17, 41Reynolds–Spannungstensor, 27, 30, 40,42Reynolds–Zahl, 13, 16, 35Reynolds–Zerlegung, 17S¨attig

Abbildungsverzeichnis xixIV.16Typische Simulationsergebnisse f¨ur die Partikelgr¨oßenverteilung; Schnittf¨ur eine feste Partikelgr¨oße; u∞= 10−3zum Ze

162 IndexVernichtungsprozess, 56Vertauschungsfehler, 25, 26Verteilungsdichte, 118Verteilungsdichtefunktion, 54, 56Verweilzeit, 100, 105, 110, 130visko

Curriculum VitaeMichael Rolandgeboren am 28.01.1975 in Homburg/Saar1981 bis 1985: Besuch der Grundschule in Limbach1985 bis 1994: Besuch des Christian

Eidesstattliche VersicherungIch versichere an Eides statt, dass ich die von mir vorgelegte Dissertation selbstst¨an-dig angefertigt habe und alle benu

xx AbbildungsverzeichnisIV.25Typische Simulationsergebnisse f¨ur u∞= 10−2zum Zeitpunktet =5000s; BWE–UPW–FDM, CaCO3, mit cC= 0.25 (oben links); FWE–UP

NomenklaturAbk¨urzungenBWE backward Euler method (implizites Euler–Verfahren)Da Damk¨ohler–ZahlDNS Direkte Numerische Simulationd.o.f. degrees of free

xxii Nomenklaturlateinische BuchstabenBnucNukleationsratec Konzentrationc∞charakteristische KonzentrationcC,∞charakteristische Konzentration des chemi

xxiiiknucNukleationskonstantekrkinetische ResiduumsenergiekRReaktionsratel∞charakteristische L¨angeL Basisgr¨oße L¨angeL Anzahl der Schichten des Gitt

xxiv Nomenklaturu∞charakteristische Geschwindigkeituλr¨aumliche Kolmogorov–SkaleuτFriktionsgeschwindigkeitUbulkMassengeschwindigkeitUDNSmeanReferenzda

xxvOperatoren∇ Nabla–Operator oder Gradient∇ · Divergenz∇× Rotation∆ Laplace–Operator∂ partielle AbleitungMatrizenA Systemmatrix oder Dimensionsmatrix

xxvi Nomenklatur( · )KGr¨oße in Bezug auf die Gitterzelle K· Vektor mit Unbekannten der Finite–Element–MethodeE [ · ] Erwartungswert( · )AGr¨oße in Be

xxviiRransiotroper Residuums–SpannungstensorS Cauchy–SpannungstensorT viskoser AnteilτRResiduums–Spannungstensor oder SG–TensorGebiete und R¨anderV Vo

xxviii NomenklaturVDRaum der Funktionen aus H1(Ω), die die Dirichlet–Randbedingungauf ∂ΩDerf¨ullenV0Raum der Funktionen aus H1(Ω), die auf ∂ΩDverschwi

Kapitel IEinleitungDie meisten physikalischen Ph¨anomene und Fragestellungen, von Fluiddynamik¨uberelektro–magnetische Feldtheorie bis hin zu chemisch

2 Kapitel I EinleitungPartikeln und ihrer Gr¨oßenverteilung [JMR+] genannt.Allein diese beiden Beispiele verdeutlichen bereits die Schwierigkeiten, di

3Einen Schwerpunkt der F¨allungsreaktion bildet der Nukleationsprozess, der den Nie-derschlag der Partikel modelliert, wenn die Konzentration des gel¨

4 Kapitel I EinleitungKonvektions–Diffusions–Reaktionsgleichungen, die¨uber die Geschwindigkeit mit denNavier–Stokes–Gleichungen gekoppelt sind, hergel

Kapitel IINumerische Simulation turbulenterinkompressibler Str¨omungen§1 Die Navier–Stokes–Gleichungen§1.1 Die Kontinuit¨atsgleichungDie Kontinuit¨ats

6 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenMit dem Satz von Gauß formt man das Oberfl¨achenintegral umI∂Ve%eu ds =ZV∇ · (e%eu) dVund erh

§1 Die Navier–Stokes–Gleichungen 7der Ver¨anderung des Impulses und den einwirkenden Kr¨aftendemdet=Xef.Die Kr¨afteef, die auf ein Fluid einwirken k¨o

8 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenmathematische Definition vondFdet(et,ex) mitex = (ex1, ex2, ex3)Tist gegeben durchdFdetet,ex

§1 Die Navier–Stokes–Gleichungen 9= ∂∂et+3Xi=1eui∂∂exi!Fet,ex.Diese Definition beschreibt die Materialableitungddet, mit Hilfe der Eulerschen Ablei-t

10 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenden und ergibt dessen am weitesten verbreitete Darstellung,ddetZVF dV =ZV∂F∂et+ ∇ · (eu F

§1 Die Navier–Stokes–Gleichungen 11Diese Darstellung ist unabh¨angig vom betrachteten Kontrollvolumen und liefert dieImpulserhaltung oder die Impulsbi

12 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenWiderstand eines Fluides, sich unter Spannungen zu verformen oder zu fließen.Bei Newtonschen

§1 Die Navier–Stokes–Gleichungen 13dell gewonnen werden konnten, auf die urspr¨ungliche Fragestellung zu¨ubertragen undso physikalische Ph¨anomene in

14 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenGleichungen,∂u∂t− 2Re−1∇ · D (u) + (u · ∇) u + ∇p = f ,∇ · u = 0.(II.10)Im folgenden Abschn

§1 Die Navier–Stokes–Gleichungen 15Physikalische Gr¨oße Maßzahl M L Tcharakteristische Geschwindigkeit u∞= x10 1 −1Dichte ρ = x21 −3 0dynamische Visko

16 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenPotenzprodukten. Diese sind gerade die im letzten Abschnitt definierten Kennzahlen,Π1= x11·

§2 Turbulente Str¨omungen und Schwierigkeiten ihrer Simulation 17beobachtbaren r¨aumlichen und zeitlichen Skalen und zeichnen sich durch einen hohenEi

18 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenbetrachten, muss zuerst der Begriff Wirbel erl¨autert werden. Dieser entzieht sich aller-din

§2 Turbulente Str¨omungen und Schwierigkeiten ihrer Simulation 19nach [Pop04] definiert alsε := 2νD (u)0: D (u0).Experimentelle Untersuchungen zeigte

20 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenDie f¨ur hinreichend große Reynolds–Zahlen getroffenen Aussagen von Kolmogorovsind:• Hypothe

§2 Turbulente Str¨omungen und Schwierigkeiten ihrer Simulation 21An dieser Stelle soll nun auch auf die Situation in zwei Dimensionen eingegangenwerde

Numerische Simulation von F¨allungsprozessenmittels PopulationsbilanzenDissertationzur Erlangung des akademischen GradesDoctor rerum naturalium (Dr. r

22 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenzeigen sich schon im Verh¨altnis der gr¨oßten auftretenden Wirbel zu den Kolmogorov–Skalen.

§3 Klassische Large Eddy Simulation 23Dies ergibt mit der Absch¨atzung (II.17), dass nur Str¨omungen bis zu einer Reynolds–Zahl von Re = Re (l∞) ≈ 129

24 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenund Druck p, mit einem geeigneten Tiefpass-Filter g gefaltetu(y) =1δ(y)dZRdgy − xδ(y)du(x

§3 Klassische Large Eddy Simulation 25zus¨atzlich noch eine Abh¨angigkeit von der (nicht physikalischen) Filterweite, die selbstnoch von der Gitterfei

26 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenDa ein beschr¨anktes Gebiet Ω in anwendungsbezogenen Simulationen jedoch die Re-gel ist, so

§3 Klassische Large Eddy Simulation 27Um den gefilterten nichtlinearen Term in (II.21) n¨aher spezifizieren zu k¨onnen, wirdder SG–Tensor τRmit der (Gal

28 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungen§4 Die Variationelle Mehrskalen–MethodeEin vielversprechender Ansatz, um die bekannten Prob

§4 Die Variationelle Mehrskalen–Methode 29Finde u : [0, T ] → V und p : (0, T ] → Q, so dass(ut, v) + (2Re−1D (u) , D (v)) + b (u, u, v) − (p, ∇ · v)

30 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenvernachl¨assigt wird, ergibt dies in der ersten Gleichung:A (u; (ˆu, ˆp) , (¯v, ¯q)) = 0. (

§4 Die Variationelle Mehrskalen–Methode 31VMS–Methode. Einmal die Wahl von Standard–Finite–Element–R¨aumen f¨ur die großenSkalen¯V ׯQ in Verbindung m

32 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenrepr¨asentiert. Folglich verk¨orpert die Differenz D(uh) − GHdie aufgel¨osten kleinenSkalen.

§4 Die Variationelle Mehrskalen–Methode 330 0 00 lHj00 0 0,120 0 00 0 lHj0 lHj0,0 0 00 0 00 0 lHj: j = 1, . . . , nL.Na

34 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenAlle anderen Matrizen Gijund˜Gijverschwinden. Daher m¨ussen f¨ur die beiden Bl¨ockeinsgesam

§5 Numerische Simulation einer turbulenten Kanalstr¨omung 35§5 Numerische Simulation einer turbulenten Kanalstr¨omungDie beschriebenen Aspekte der Imp

36 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenzu [Gra06b] wird eine St¨orung addiert,u1(0; x, y, z) = UDNS,linmean(y) + 0.1 Ubulkψ,u2(0;

§5 Numerische Simulation einer turbulenten Kanalstr¨omung 37Turbulenzmodellen abh¨angt [JR07].§5.2 Diskretisierung und GitterIn diesem Abschnitt wird

38 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenFinde (u(n)k, p(n)k) ∈ V × Q, so dassu(n)k, v+12∆tkhRe−1τD(u(n)k), D(v)+u(n−1)k· ∇u(

§5 Numerische Simulation einer turbulenten Kanalstr¨omung 39Level l0Zellen NyFreiheitsgrade u Freiheitsgrade p y+min2 2 512 8 15104 2048 6.85082 4 102

40 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenKanalwand durch eine einseitige Differenz angen¨ahert werden,uhτ=12Uhmean(y+min)y+min−Uhmea

§5 Numerische Simulation einer turbulenten Kanalstr¨omung 41Darstellungen mitRMKM11−13RMKM11+ RMKM22+ RMKM3312verglichen (vgl.[IF03]), wobei

PromotionskolloquiumTag des Promotionskolloquiums 19.05.2010Ort des Promotionskolloquiums Saarbr¨uckenDekan der Naturwissenschaftlich–Technischen Prof

42 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungen+uhk−1· ∇uhk−1, vh+ (II.40)νT,k−1Duhk−1− GHk−1, Dvhi+12∆tkfk−1, vh+12∆tkfk,

§5 Numerische Simulation einer turbulenten Kanalstr¨omung 43Abbildung II.3: Turbulente Kanalstr¨omung mit Reτ= 180; mittlere Geschwindigkeitmit einer

44 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenVMS P1 mit CS= 0.005, erheblich besser sind als f¨ur die SvD–Methode. Selbstauf diesen sehr

§5 Numerische Simulation einer turbulenten Kanalstr¨omung 45hier die Form der Kurven korrekt. Einen weitereren Unterschied in den Ergebnissen siehtman

46 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenAbbildung II.6: Turbulente Kanalstr¨omung mit Reτ= 180; mittlere Geschwindigkeitenmit einer

§5 Numerische Simulation einer turbulenten Kanalstr¨omung 47Abbildung II.8: Turbulente Kanalstr¨omung mit Reτ= 180; uh,∗rms, mit einer anf¨anglichenUn

48 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenAbbildung II.10: Turbulente Kanalstr¨omung mit Reτ= 180; Rh,∗12, mit einer anf¨angli-chen U

§5 Numerische Simulation einer turbulenten Kanalstr¨omung 49Abbildung II.12: Turbulente Kanalstr¨omung mit Reτ= 180; anf¨angliche Unterteilungin vier

50 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenAbbildung II.14: Turbulente Kanalstr¨omung mit Reτ= 180; uh,∗rms, mit einer anf¨angli-chen

§5 Numerische Simulation einer turbulenten Kanalstr¨omung 51§5.6 ZusammenfassungDieser Abschnitt betrachtete Simulationen zur turbulenten Kanalstr¨omu

viii

52 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str¨omungenBereich auch viele nichtgel¨oste kleine Skalen befinden und umgekehrt.Durch diese Kontrolle

Kapitel IIIFinite–Element–Methoden zurnumerischen Simulation vonF¨allungsprozessen§1 PopulationsbilanzenSowohl in der Chemie als auch in der Biologie

54 Kapitel III FEM Simulation von F¨allungsprozesseDie Populationsbilanzen m¨ussen also Transportph¨anomene und Reaktionsprozessemit den Aspekten der

§1 Populationsbilanzen 55Zeitpunktet istN(et,ex) =ZΩeief(et,ex,ei) dVei,was einer lokalen (gemittelten) Partikelanzahldichte im physikalischen Raum en

56 Kapitel III FEM Simulation von F¨allungsprozesseZur Herleitung von Bilanzgleichungen f¨ur die Partikel in einem Gebiet des Zustands-raumes m¨ussen

§1 Populationsbilanzen 57Durch die allgemeine Wahl der Integrationsgebiete und der Stetigkeit der Integrantenerlaubt dies nun die nachstehende Definiti

58 Kapitel III FEM Simulation von F¨allungsprozessediese in vielf¨alltigen Formen in der Produktion chemischer Substanzen, insbesonderevon Partikeln a

§1 Populationsbilanzen 59Bei dem im Folgenden betrachteten Prozess liegen gel¨oste Edukte oder Reaktantenals Ausgangstoffe in einem L¨osungsmittel vor.

60 Kapitel III FEM Simulation von F¨allungsprozesse∇i·euief=∂∂edpeG (ecC)ef=∂∂edpeG (ecC)ef +eG (ecC)∂ef∂edp=eG (ecC)∂ef∂edp.Dies liefert nun die

§2 Modellierung des F¨allungsprozesses 61tersuchung der Umwandlungsreaktion verzichtet und wie im Folgenden, eine globaleReaktionsgleichung f¨ur das S

DanksagungZuerst und vor allem m¨ochte ich meinem Doktorvater Herrn Prof. Volker John danken.Einmal daf¨ur, dass er es mir in meiner Zeit als wissensc

62 Kapitel III FEM Simulation von F¨allungsprozesseDiese Gleichung wird nun um den Konvektionsanteil erweitert. Dieser entspricht demkontinuierlichen

§2 Modellierung des F¨allungsprozesses 63Verbrauchs der Substanz C infolge des Partikelwachstums, welcher¨uber die Partikel-verteilungsdichte mit der

64 Kapitel III FEM Simulation von F¨allungsprozessePartikeldurchmesser undeBnuc(ecC) [1/(m3s)] die Nukleationsrate mit der die Partikelentstehen und d

§2 Modellierung des F¨allungsprozesses 65bung die¨Ubers¨attigung ecCherrscht. Bedingt durch diesen Konzentrationsunterschiedfindet Diffussion von Molek¨

66 Kapitel III FEM Simulation von F¨allungsprozessemensionslosen Kennzahlen, die eine Entdimensionierung der Gleichungen erm¨oglichen:eu = u∞u, ep = p

§3 Diskretisierung des gekoppelten Systems 67werden noch die folgenden Konstanten eingef¨uhrt:Λchem= kRc2∞l∞cC,∞u∞, Λnuc= Cnuced3p,0knucl∞c4C,∞u∞,edp,

68 Kapitel III FEM Simulation von F¨allungsprozesseDiffusions–Reaktionsgleichung der Form∂c∂t− ε∆c + u · ∇c + rc = f in (0, T ] × Ω,c = cDin [0, T ] ×

§3 Diskretisierung des gekoppelten Systems 69Randbedingungen betrachtet.Sei VDder Teilraum von H1(Ω), dessen Elemente die Dirichlet–Randbedingungenerf

70 Kapitel III FEM Simulation von F¨allungsprozesse§3.1.1 Die SUPG–MethodeEine sehr popul¨are Finite–Elemente–Stabilisierungsmethode f¨ur konvektionsd

§3 Diskretisierung des gekoppelten Systems 71dominiert [JS08].Daher m¨ussen geeignete Parameterfamilien die reaktionsbedingten Eigenschaften derGleich